Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$

Etapa 2.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$5 u^{2} - 15 u - 20 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.3.1

Fatore $5$ de $5 u^{2} - 15 u - 20$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $5$ de $5 u^{2}$ .

$5 (u^{2}) - 15 u - 20 = 0$

Etapa 2.3.1.2

Fatore $5$ de $- 15 u$ .

$5 (u^{2}) + 5 (- 3 u) - 20 = 0$

Etapa 2.3.1.3

Fatore $5$ de $- 20$ .

$5 u^{2} + 5 (- 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

Etapa 2.3.1.4

Fatore $5$ de $5 u^{2} + 5 (- 3 u)$ .

$5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

Etapa 2.3.1.5

Fatore $5$ de $5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4$ .

$5 (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

Etapa 2.3.2

Fatore.

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Etapa 2.3.2.1

Fatore $u^{2} - 3 u - 4$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 2.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$5 ((u - 4) (u + 1)) = 0$

Etapa 2.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$5 (u - 4) (u + 1) = 0$

Etapa 2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 2.5

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 2.6

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $5 (u - 4) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 4, - 1$

Etapa 2.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Etapa 2.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 2.10

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.10.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.10.2

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 2.10.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.10.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 2.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Etapa 2.12

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.12.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.12.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 2.13

A solução para $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ é $x = 2, - 2, i, - i$ .

$x = 2, - 2, i, - i$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{5} - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$32 - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$32 - 5 \cdot 8 - 20 \cdot 2 - 2$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $8$ .

$32 - 40 - 20 \cdot 2 - 2$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $2$ .

$32 - 40 - 40 - 2$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $40$ de $32$ .

$- 8 - 40 - 2$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $40$ de $- 8$ .

$- 48 - 2$

Etapa 4.1.2.2.3

Subtraia $2$ de $- 48$ .

$- 50$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{5} - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$- 32 - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 32 - 5 \cdot - 8 - 20 \cdot - 2 - 2$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $- 8$ .

$- 32 + 40 - 20 \cdot - 2 - 2$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $- 2$ .

$- 32 + 40 + 40 - 2$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Some $- 32$ e $40$ .

$8 + 40 - 2$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $8$ e $40$ .

$48 - 2$

Etapa 4.2.2.2.3

Subtraia $2$ de $48$ .

$46$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(2, - 50), (- 2, 46)$

Etapa 5