Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - (x - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - x - - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Subtraia $- 1$ de $0$ .

$\frac{- - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $\frac{x - 1}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{(0) - 1}{0}$

Etapa 4.1.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado