Cálculo Exemplos

$\frac{x + 2}{x - 6}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y + 2}{y - 6}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique a equação por $y - 6$ .

$(y - 6) (x) = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 6 x = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $y - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y x - 6 x = \frac{y + 2}{y - 6} (y - 6)$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y x - 6 x = y + 2$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y x - 6 x - y = 2$

Etapa 2.4.2

Some $6 x$ aos dois lados da equação.

$y x - y = 2 + 6 x$

Etapa 2.4.3

Fatore $y$ de $y x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = 2 + 6 x$

Etapa 2.4.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 6 x$

Etapa 2.4.3.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 + 6 x$

Etapa 2.4.4

Divida cada termo em $y (x - 1) = 2 + 6 x$ por $x - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Divida cada termo em $y (x - 1) = 2 + 6 x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Etapa 2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Etapa 2.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Etapa 2.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 + 6 x}{x - 1}$

Etapa 2.4.4.3.2

Fatore $2$ de $2 + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (1) + 6 x}{x - 1}$

Etapa 2.4.4.3.2.2

Fatore $2$ de $6 x$ .

$y = \frac{2 (1) + 2 (3 x)}{x - 1}$

Etapa 2.4.4.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (3 x)$ .

$y = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + 3 (\frac{x + 2}{x - 6}))}{(\frac{x + 2}{x - 6}) - 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Combine $3$ e $\frac{x + 2}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Etapa 4.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Etapa 4.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6 + 3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Etapa 4.2.3.4

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Etapa 4.2.3.5

Reescreva $\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 3 \cdot 2 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Etapa 4.2.3.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Etapa 4.2.3.5.3

Some $x$ e $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Etapa 4.2.3.5.4

Subtraia $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 0}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Etapa 4.2.3.5.5

Some $4 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Etapa 4.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

Etapa 4.2.4.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

Etapa 4.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}}$

Etapa 4.2.4.4

Reescreva $\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

Etapa 4.2.4.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

Etapa 4.2.4.4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{0 + 2 + 6}{x - 6}}$

Etapa 4.2.4.4.4

Some $0$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{2 + 6}{x - 6}}$

Etapa 4.2.4.4.5

Some $2$ e $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{8}{x - 6}}$

Etapa 4.2.5

Combine $2$ e $\frac{4 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

Etapa 4.2.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{8 x}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

Etapa 4.2.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Etapa 4.2.8

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Etapa 4.2.8.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Etapa 4.2.8.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Etapa 4.2.9

Cancele o fator comum de $x - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.9.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Etapa 4.2.9.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2$ e $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $2$ de $\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot 1}{\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1} - 6}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $2$ de $2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 (1)$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Etapa 4.3.3.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.4.1

Fatore $2$ de $\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) - 6}$

Etapa 4.3.3.4.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot - 3}$

Etapa 4.3.3.4.3

Fatore $2$ de $2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 \cdot - 3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Etapa 4.3.3.4.4

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Etapa 4.3.3.4.5

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Etapa 4.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Multiplique $\frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Etapa 4.3.4.2

Combine.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Etapa 4.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.6

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.6.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.6.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + x - 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.7.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x + 0}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.7.3

Some $3 x + x$ e $0$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.7.4

Some $3 x$ e $x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Etapa 4.3.8.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Etapa 4.3.8.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Etapa 4.3.8.4

Some $1$ e $3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{3 x - 3 x + 4}$

Etapa 4.3.8.5

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{0 + 4}$

Etapa 4.3.8.6

Some $0$ e $4$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 4.3.9

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 4.3.9.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$