Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ e ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ de ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.1.2.4

Divida ${(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Etapa 2.2.2

Some $n$ e $0$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Etapa 2.2.4

Subtraia $n$ de $n$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.5

Some $0$ e $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{1}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$r = - \frac{1}{3}$

Etapa 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $n$ em ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{0}$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Etapa 4.2.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Etapa 4.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 1 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $\frac{1^{0}}{3^{0}}$ por $1$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Etapa 4.2.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Etapa 4.2.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Etapa 4.2.7

Divida $1$ por $1$ .

$a = 1$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{1}{1 - - \frac{1}{3}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $- - \frac{1}{3}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{3})}$

Etapa 6.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Etapa 6.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Etapa 6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Etapa 6.1.4

Some $3$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$