Cálculo Exemplos

$\sum_{x = 1}^{8} 15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{x}$ e $a_{x + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ e ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ de ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $x$ e $0$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - (x - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $x$ de $x$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{1}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$r = - \frac{5}{7}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $x$ em $15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{1 - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{0}$

Etapa 3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} {(\frac{5}{7})}^{0})$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Etapa 3.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 15 (1 \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Etapa 3.2.4

Multiplique $\frac{5^{0}}{7^{0}}$ por $1$ .

$a = 15 \frac{5^{0}}{7^{0}}$

Etapa 3.2.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 15 \frac{1}{7^{0}}$

Etapa 3.2.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.7

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.1

Cancele o fator comum.

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.7.2

Reescreva a expressão.

$a = 15 \cdot 1$

Etapa 3.2.8

Multiplique $15$ por $1$ .

$a = 15$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$15 \frac{1 - {(- \frac{5}{7})}^{8}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{5}{7})}^{8})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{5^{8}}{7^{8}})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{8}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{8}$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{8}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.2.3

Some $8$ e $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $9$ .

$15 \frac{1 - \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.4

Eleve $5$ à potência de $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.5

Eleve $7$ à potência de $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$15 \frac{\frac{5764801}{5764801} - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$15 \frac{\frac{5764801 - 390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.1.8

Subtraia $390625$ de $5764801$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $- - \frac{5}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + 1 (\frac{5}{7})}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $\frac{5}{7}$ por $1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + \frac{5}{7}}$

Etapa 5.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7}{7} + \frac{5}{7}}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7 + 5}{7}}$

Etapa 5.2.4

Some $7$ e $5$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{12}{7}}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$15 (\frac{5374176}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $12$ de $5374176$ .

$15 (\frac{12 (447848)}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$15 (\frac{12 \cdot 447848}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$15 (\frac{447848}{5764801} \cdot 7)$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Fatore $7$ de $5764801$ .

$15 (\frac{447848}{7 (823543)} \cdot 7)$

Etapa 5.5.2

Cancele o fator comum.

$15 (\frac{447848}{7 \cdot 823543} \cdot 7)$

Etapa 5.5.3

Reescreva a expressão.

$15 (\frac{447848}{823543})$

Etapa 5.6

Multiplique $15 (\frac{447848}{823543})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Combine $15$ e $\frac{447848}{823543}$ .

$\frac{15 \cdot 447848}{823543}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $15$ por $447848$ .

$\frac{6717720}{823543}$