Cálculo Exemplos

$f (x) = 11 - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$11 - 3 x^{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $11 - 3 x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = - 11$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 11$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 11$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 11}{- 3}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{11}{3}$

Etapa 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{11}{3}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{11}{3}}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{11}{3}}$ como $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.4.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.4.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.2.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.2.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 1.2.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Etapa 1.2.4.4.2

Multiplique $11$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$

Etapa 1.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}$

Etapa 1.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Etapa 1.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}, - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Etapa 1.3

Substitua $\frac{\sqrt{33}}{3}$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

Etapa 2

Reordene $11$ e $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 11$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 - (0) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $0$ de $- 3 x^{2} + 11$ .

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Etapa 4.4

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Etapa 4.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Etapa 4.7

Aplique a regra da constante.

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 11 x]_{0}^{1}$

Etapa 4.8

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.8.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 11 x]_{0}^{1}$

Etapa 4.8.2

Avalie $11 x$ em $1$ e em $0$ .

$- 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3

Simplifique.

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Etapa 4.8.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 4.8.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} + 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.5

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.6

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.7

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.7.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.7.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.8

Multiplique $11$ por $1$ .

$- 1 + 11 - 11 \cdot 0$

Etapa 4.8.3.9

Multiplique $- 11$ por $0$ .

$- 1 + 11 + 0$

Etapa 4.8.3.10

Some $11$ e $0$ .

$- 1 + 11$

Etapa 4.8.3.11

Some $- 1$ e $11$ .

$10$

Etapa 5