Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\ln (\ln (x))}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\ln (\ln (x)) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\ln (x))} = e^{0}$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (\ln (x)) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \ln (x)$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $\ln (x) = e^{0}$ .

$\ln (x) = e^{0}$

Etapa 2.3.2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{e^{0}}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\ln (x) = e^{0}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e^{0}} = x$

Etapa 2.3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Reescreva a equação como $x = e^{e^{0}}$ .

$x = e^{e^{0}}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique $e^{e^{0}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x = e^{1}$

Etapa 2.3.4.2.2

Simplifique.

$x = e$

Etapa 3

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 4

Defina o argumento em $\ln (\ln (x))$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\ln (x) \leq 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\ln (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Etapa 5.2.2

Reescreva $\ln (x) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Etapa 5.2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Reescreva a equação como $x = e^{0}$ .

$x = e^{0}$

Etapa 5.2.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x = 1$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 5.3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 5.4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 5.5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 5.5.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\ln (- 2) \leq 0$

Etapa 5.5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.5.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 5.5.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$\ln (0.5) \leq 0$

Etapa 5.5.2.3

O lado esquerdo $- 0.69314718$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.5.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 5.5.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\ln (4) \leq 0$

Etapa 5.5.3.3

O lado esquerdo $1.38629436$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 5.6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x \leq 1$

Etapa 6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 1, x = e$

$(- \infty, 1] \cup [e, e]$

Etapa 7