Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan (2 x)$ , $x = \frac{π}{6}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{π}{6}$ .

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Etapa 1.1

Substitua $\frac{π}{6}$ por $x$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Multiplique $2$ por $\frac{π}{6}$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2.2

Simplifique $\tan (2 (\frac{π}{6}))$ .

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$y = \tan (2 \frac{π}{2 (3)})$

Etapa 1.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$y = \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 1.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$y = \tan (\frac{π}{3})$

Etapa 1.2.2.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{6}$ e $y = \sqrt{3}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Etapa 2.3

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{6}$ .

$2 \sec^{2} (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 (3)})$

Etapa 2.4.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 2.4.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 2.4.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$2 \cdot 2^{2}$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

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Etapa 2.4.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{2}$

Etapa 2.4.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 2}$

Etapa 2.4.3.2

Some $1$ e $2$ .

$2^{3}$

Etapa 2.4.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $8$ e um ponto determinado $(\frac{π}{6}, \sqrt{3})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{3}) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $8 \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 (- \frac{π}{6})$

Etapa 3.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{6}$ para o numerador.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 \frac{- π}{6}$

Etapa 3.3.1.4.2

Fatore $2$ de $8$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{6}$

Etapa 3.3.1.4.3

Fatore $2$ de $6$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.1.4.4

Cancele o fator comum.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.1.4.5

Reescreva a expressão.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 4 \frac{- π}{3}$

Etapa 3.3.1.5

Combine $4$ e $\frac{- π}{3}$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{4 (- π)}{3}$

Etapa 3.3.1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{- 4 π}{3}$

Etapa 3.3.1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \sqrt{3} = 8 x - \frac{4 π}{3}$

Etapa 3.3.2

Some $\sqrt{3}$ aos dois lados da equação.

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para escrever $\sqrt{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.3.2

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Etapa 3.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 8 x + \frac{- 4 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Etapa 3.3.3.4

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- 4 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 4 π$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π) + 3 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3.3.6

Fatore $- 1$ de $3 \sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 3.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 3.3.3.8

Reescreva $- (4 π - 3 \sqrt{3})$ como $- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})$ .

$y = 8 x + \frac{- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 3.3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = 8 x - \frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4