Cálculo Exemplos

$f (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 1$

Etapa 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1 - \frac{1}{1^{2}}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique $(1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Etapa 1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Etapa 1.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = 1 - 1$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$y = 0$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$1 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.2.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.2.10

Subtraia $4$ de $1$ .

$1 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.2.11

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$1 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.2.12

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$1 + 2 x^{- 3} + 0$

Etapa 2.2.13

Some $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$1 + 2 x^{- 3}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$\frac{2}{x^{3}} + 1$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$\frac{2}{{(1)}^{3}} + 1$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{1} + 1$

Etapa 2.5.1.2

Divida $2$ por $1$ .

$2 + 1$

Etapa 2.5.2

Some $2$ e $1$ .

$3$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $3$ e um ponto determinado $(1, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 3 \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.2

Simplifique $3 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 x + 3 \cdot - 1$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y = 3 x - 3$

Etapa 4