Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{2 x - 3}$ , $x = 6$

Etapa 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 6$ .

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Etapa 1.1

Substitua $6$ por $x$ .

$y = \sqrt{2 (6) - 3}$

Etapa 1.2

Simplifique $\sqrt{2 (6) - 3}$ .

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Etapa 1.2.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$y = \sqrt{12 - 3}$

Etapa 1.2.2

Subtraia $3$ de $12$ .

$y = \sqrt{9}$

Etapa 1.2.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 3$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 6$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x - 3}$ como ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x - 3$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.7.3

Mova ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.12

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Etapa 2.13

Simplifique os termos.

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Etapa 2.13.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Etapa 2.13.2

Combine $\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.13.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.13.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.14

Avalie a derivada em $x = 6$ .

$\frac{1}{{(2 (6) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.15

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.15.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{1}{{(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.15.2

Subtraia $3$ de $12$ .

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.15.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.15.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 2.15.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.15.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 2.15.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3^{1}}$

Etapa 2.15.6

Avalie o expoente.

$\frac{1}{3}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{1}{3}$ e um ponto determinado $(6, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{3} \cdot (x - (6))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot (x - 6)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Etapa 3.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Etapa 3.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$y - 3 = \frac{x}{3} - 2$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{3} - 2 + 3$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 2$ e $3$ .

$y = \frac{x}{3} + 1$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{3} x + 1$

Etapa 4