Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{4} (125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ e ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ de ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $n$ e $0$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - (n - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{1}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$r = \frac{1}{5}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $n$ em $(125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{1 - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{0}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$a = 125 \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Etapa 3.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 125 \frac{1}{5^{0}}$

Etapa 3.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.5.2

Reescreva a expressão.

$a = 125 \cdot 1$

Etapa 3.2.6

Multiplique $125$ por $1$ .

$a = 125$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$125 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$ por $\frac{5}{5}$ .

$125 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}})$

Etapa 5.1.2

Combine.

$125 \frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{5}$ para o numerador.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$125 \frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$125 \frac{5 + 5 (- \frac{1^{4}}{5^{4}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1^{4}}{5^{4}}$ para o numerador.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5^{4}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $5$ de $5^{4}$ .

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3.3

Cancele o fator comum.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3.4

Reescreva a expressão.

$125 \frac{5 + \frac{- 1^{4}}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.5

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$125 \frac{5 - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.8

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{5 \cdot \frac{125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.9

Combine $5$ e $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.11.1

Multiplique $5$ por $125$ .

$125 \frac{\frac{625 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.11.2

Subtraia $1$ de $625$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 - 1}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $1$ de $5$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{4}$

Etapa 5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$125 (\frac{624}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 5.7

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Fatore $4$ de $624$ .

$125 (\frac{4 (156)}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum.

$125 (\frac{4 \cdot 156}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 5.7.3

Reescreva a expressão.

$125 (\frac{156}{125})$

Etapa 5.8

Cancele o fator comum de $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Cancele o fator comum.

$125 (\frac{156}{125})$

Etapa 5.8.2

Reescreva a expressão.

$156$