Cálculo Exemplos

$f (x) = (- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 x - 5)$ , $x = 0$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 5 x^{2} - 5 x - 2$ e $g (x) = - 4 x - 5$ .

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 4 x - 5] + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

Etapa 2.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

Etapa 2.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

Etapa 2.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 + 0) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $- 4$ e $0$ .

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) \cdot - 4 + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

Etapa 2.6.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $- 5 x^{2} - 5 x - 2$ .

$- 4 \cdot (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x^{2} - 5 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.8

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.11

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.13

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.14

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 + 0)$

Etapa 2.15

Some $- 10 x - 5$ e $0$ .

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 + (- 4 x - 5) (- 10 x) + (- 4 x - 5) \cdot - 5$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) + (- 4 x - 5) \cdot - 5$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$20 x^{2} - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5.2

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$20 x^{2} + 20 x - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$20 x^{2} + 20 x + 8 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5.4

Multiplique $- 10$ por $- 4$ .

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x \cdot x - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 (x^{1} x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 (x^{1} x^{1}) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{1 + 1} - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5.8

Some $1$ e $1$ .

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5.9

Multiplique $- 10$ por $- 5$ .

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5.10

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x + 20 x - 5 \cdot - 5$

Etapa 3.5.11

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x + 20 x + 25$

Etapa 3.5.12

Some $50 x$ e $20 x$ .

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 70 x + 25$

Etapa 3.5.13

Some $20 x^{2}$ e $40 x^{2}$ .

$60 x^{2} + 20 x + 8 + 70 x + 25$

Etapa 3.5.14

Some $20 x$ e $70 x$ .

$60 x^{2} + 90 x + 8 + 25$

Etapa 3.5.15

Some $8$ e $25$ .

$60 x^{2} + 90 x + 33$

Etapa 4

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$60 {(0)}^{2} + 90 (0) + 33$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$60 \cdot 0 + 90 (0) + 33$

Etapa 5.1.2

Multiplique $60$ por $0$ .

$0 + 90 (0) + 33$

Etapa 5.1.3

Multiplique $90$ por $0$ .

$0 + 0 + 33$

Etapa 5.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 33$

Etapa 5.2.2

Some $0$ e $33$ .

$33$