Cálculo Exemplos

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2}$

Etapa 1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2} = \sum_{x = 1}^{8} 1 + \sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x} + \sum_{x = 1}^{8} x^{2}$

Etapa 2

Avalie $\sum_{x = 1}^{8} 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 2.2

Substitua os valores na fórmula.

$(1) (8)$

Etapa 2.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$8$

Etapa 3

Avalie $\sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $- 1$ da soma.

$(- 1) \sum_{x = 1}^{8} \frac{11}{x}$

Etapa 3.2

Expanda a série para cada valor de $x$ .

$- \frac{11}{1} - \frac{11}{2} - \frac{11}{3} + \dots - \frac{11}{8}$

Etapa 3.3

Simplifique a forma expandida.

$- \frac{8371}{280}$

Etapa 4

Avalie $\sum_{x = 1}^{8} x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $8$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Fatore $2$ de $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Etapa 4.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Etapa 4.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Etapa 4.3.2.2

Some $8$ e $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $4$ por $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Etapa 4.3.2.4

Some $16$ e $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Etapa 4.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique $36$ por $17$ .

$\frac{612}{3}$

Etapa 4.3.3.2

Divida $612$ por $3$ .

$204$

Etapa 5

Adicione os resultados das somas.

$8 - \frac{8371}{280} + 204$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Escreva $8$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{8}{1} - \frac{8371}{280} + 204$

Etapa 6.1.2

Multiplique $\frac{8}{1}$ por $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8}{1} \cdot \frac{280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Etapa 6.1.3

Multiplique $\frac{8}{1}$ por $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Etapa 6.1.4

Escreva $204$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1}$

Etapa 6.1.5

Multiplique $\frac{204}{1}$ por $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1} \cdot \frac{280}{280}$

Etapa 6.1.6

Multiplique $\frac{204}{1}$ por $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204 \cdot 280}{280}$

Etapa 6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 \cdot 280 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Etapa 6.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique $8$ por $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $204$ por $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 57120}{280}$

Etapa 6.4

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Subtraia $8371$ de $2240$ .

$\frac{- 6131 + 57120}{280}$

Etapa 6.4.2

Some $- 6131$ e $57120$ .

$\frac{50989}{280}$