Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{100} 2^{i}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $2^{i + 1}$ e $2^{i}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2^{i}$ de $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Etapa 2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{2}{1}$

Etapa 2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$r = 2$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $i$ em $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

Etapa 3.2

Avalie o expoente.

$a = 2$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{- 1}$

Etapa 5.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1 - 2^{100}}{- 1}$ .

$2 (- 1 \cdot (1 - 2^{100}))$

Etapa 5.3

Reescreva $- 1 \cdot (1 - 2^{100})$ como $- (1 - 2^{100})$ .

$2 (- (1 - 2^{100}))$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- 1 \cdot 1 - - 2^{100})$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (- 1 - - 2^{100})$

Etapa 5.6

Multiplique $- - 2^{100}$ .

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Etapa 5.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 (- 1 + 1 \cdot 2^{100})$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2^{100}$ por $1$ .

$2 (- 1 + 2^{100})$

Etapa 5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot - 1 + 2 \cdot 2^{100}$

Etapa 5.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 2 \cdot 2^{100}$

Etapa 5.9

Multiplique $2$ por $2^{100}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.9.1

Multiplique $2$ por $2^{100}$ .

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Etapa 5.9.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- 2 + 2^{1} \cdot 2^{100}$

Etapa 5.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 + 2^{1 + 100}$

Etapa 5.9.2

Some $1$ e $100$ .

$- 2 + 2^{101}$