Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{11} 2^{i - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2^{i + 1 - 1}$ e $2^{i - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $2^{i - 1}$ de $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.1.2.4

Divida $2^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Etapa 2.2.2

Some $i$ e $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Etapa 2.2.4

Subtraia $i$ de $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Etapa 2.2.5

Some $0$ e $1$ .

$r = 2^{1}$

Etapa 2.2.6

Avalie o expoente.

$r = 2$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $i$ em $2^{i - 1}$ .

$a = 2^{1 - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = 2^{0}$

Etapa 3.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 1$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$1 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$ por $1$ .

$\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve $2$ à potência de $11$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 1$ por $2048$ .

$\frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3

Subtraia $2048$ de $1$ .

$\frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2047}{1 - 2}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 2047}{- 1}$

Etapa 5.4

Divida $- 2047$ por $- 1$ .

$2047$