Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de $k$ igual a $1$ .

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 - \sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$

Etapa 2

Avalie $\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + \sum_{k = 1}^{9} 1$

Etapa 2.2

Avalie $\sum_{k = 1}^{9} k^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 2.2.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum de $9$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Fatore $3$ de $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Etapa 2.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Etapa 2.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Etapa 2.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Etapa 2.2.3.2.2

Some $9$ e $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Etapa 2.2.3.2.3

Multiplique $3$ por $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Etapa 2.2.3.2.4

Some $18$ e $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Multiplique $30$ por $19$ .

$\frac{570}{2}$

Etapa 2.2.3.3.2

Divida $570$ por $2$ .

$285$

Etapa 2.3

Avalie $\sum_{k = 1}^{9} 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 2.3.2

Substitua os valores na fórmula.

$(1) (9)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$9$

Etapa 2.4

Adicione os resultados das somas.

$285 + 9$

Etapa 2.5

Some $285$ e $9$ .

$294$

Etapa 3

Avalie $\sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 1$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 1$

Etapa 3.2.2

Some $1$ e $1$ .

$2 + 2^{2} + 1$

Etapa 3.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 + 4 + 1$

Etapa 3.2.4

Some $4$ e $1$ .

$2 + 5$

Etapa 3.2.5

Some $2$ e $5$ .

$7$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$294 - 7$

Etapa 5

Subtraia $7$ de $294$ .

$287$