Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} 12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{12 {(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{12 {(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}$ e ${(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ de ${(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $n$ e $0$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - (n - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - n - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - n + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $n$ de $n$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{1}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$r = - \frac{1}{9}$

Etapa 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $n$ em $12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ .

$a = 12 {(- \frac{1}{9})}^{1 - 1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = 12 {(- \frac{1}{9})}^{0}$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{9}$ .

$a = 12 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{9})}^{0})$

Etapa 4.2.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{9}$ .

$a = 12 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{9^{0}})$

Etapa 4.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 12 (1 \frac{1^{0}}{9^{0}})$

Etapa 4.2.4

Multiplique $\frac{1^{0}}{9^{0}}$ por $1$ .

$a = 12 \frac{1^{0}}{9^{0}}$

Etapa 4.2.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 12 \frac{1}{9^{0}}$

Etapa 4.2.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.2.7

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.2.7.1

Cancele o fator comum.

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.2.7.2

Reescreva a expressão.

$a = 12 \cdot 1$

Etapa 4.2.8

Multiplique $12$ por $1$ .

$a = 12$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{12}{1 - - \frac{1}{9}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $- - \frac{1}{9}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{12}{1 + 1 (\frac{1}{9})}$

Etapa 6.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$\frac{12}{1 + \frac{1}{9}}$

Etapa 6.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{12}{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Etapa 6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{12}{\frac{9 + 1}{9}}$

Etapa 6.1.4

Some $9$ e $1$ .

$\frac{12}{\frac{10}{9}}$

Etapa 6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$12 (\frac{9}{10})$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $2$ de $12$ .

$2 (6) \frac{9}{10}$

Etapa 6.3.2

Fatore $2$ de $10$ .

$2 \cdot 6 \frac{9}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 6 \frac{9}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.3.4

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{9}{5})$

Etapa 6.4

Combine $6$ e $\frac{9}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 9}{5}$

Etapa 6.5

Multiplique $6$ por $9$ .

$\frac{54}{5}$