Cálculo Exemplos

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ , $x = 5$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{2}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$12 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $12 x^{2} + 30 x + 10$ e $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f'' (5) = 12 {(5)}^{2} + 30 (5) + 10$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f'' (5) = 12 \cdot 25 + 30 (5) + 10$

Etapa 3.2

Multiplique $12$ por $25$ .

$f'' (5) = 300 + 30 (5) + 10$

Etapa 3.3

Multiplique $30$ por $5$ .

$f'' (5) = 300 + 150 + 10$

Etapa 4

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1

Some $300$ e $150$ .

$f'' (5) = 450 + 10$

Etapa 4.2

Some $450$ e $10$ .

$f'' (5) = 460$