Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

Etapa 1

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 27}$ como ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 27$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

Etapa 1.10

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 1.11

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 1.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 1.11.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.5

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

Some $9$ e $27$ .

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 3.5.2

Reescreva a expressão.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Etapa 3.6

Avalie o expoente.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (3) = \frac{1}{2}$