Cálculo Exemplos

$h (x) = 5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ , $x = 4$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(9 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x + 7)}^{4}] + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 9 x + 7$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x + 7$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x + 7$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.4

Multiplique $9$ por $1$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + 0)) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.6.1

Some $9$ e $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \cdot 9) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.6.2

Multiplique $9$ por $4$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} (2 x))$

Etapa 1.4.8

Mova $2$ para a esquerda de ${(9 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + 2 \cdot {(9 x + 7)}^{4} x)$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

Etapa 1.5.2

Multiplique $36$ por $5$ .

$180 (x^{2} ({(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

Etapa 1.5.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 ({(9 x + 7)}^{4} x)$

Etapa 1.5.4

Fatore $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ de $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$ .

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Etapa 1.5.4.1

Fatore $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ de $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3}$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$

Etapa 1.5.4.2

Fatore $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ de $10 {(9 x + 7)}^{4} x$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$

Etapa 1.5.4.3

Fatore $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ de $10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x + 9 x + 7)$

Etapa 1.5.5

Some $18 x$ e $9 x$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (27 x + 7)$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$h' (4) = 10 (4) {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Etapa 3

Multiplique $10$ por $4$ .

$h' (4) = 40 {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Etapa 4

Multiplique $9$ por $4$ .

$h' (4) = 40 {(36 + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Etapa 5

Some $36$ e $7$ .

$h' (4) = 40 \cdot (43^{3} (27 (4) + 7))$

Etapa 6

Eleve $43$ à potência de $3$ .

$h' (4) = 40 \cdot (79507 (27 (4) + 7))$

Etapa 7

Multiplique $40$ por $79507$ .

$h' (4) = 3180280 (27 (4) + 7)$

Etapa 8

Multiplique $27$ por $4$ .

$h' (4) = 3180280 (108 + 7)$

Etapa 9

Some $108$ e $7$ .

$h' (4) = 3180280 \cdot 115$

Etapa 10

Multiplique $3180280$ por $115$ .

$h' (4) = 365732200$