Cálculo Exemplos

$f (r) = {(2 r)}^{\frac{2}{3}}$ , $r = 5$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1.1

Fatore $2$ de $2 r$ .

$\frac{d}{d r} [{(2 (r))}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2

Aplique a regra do produto a $2 (r)$ .

$\frac{d}{d r} [2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2

Como $2^{\frac{2}{3}}$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}$ em relação a $r$ é $2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 1.7.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.9

Combine $\frac{2}{3}$ e $r^{- \frac{1}{3}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.10

Combine $2^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}} (2 r^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 1.11

Multiplique $2^{\frac{2}{3}}$ por $2$ somando os expoentes.

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Etapa 1.11.1

Mova $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.11.2

Multiplique $2$ por $2^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 1.11.2.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2^{1 + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.11.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{\frac{3 + 2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.11.5

Some $3$ e $2$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.12

Mova $r^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 r^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Substitua a variável $r$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 {(5)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3

Remova os parênteses.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$