Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ , $x = 2$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Etapa 1.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$0 - (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ .

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Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} - 3 x + 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} - 3 x + 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Etapa 1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Etapa 1.2.6

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])))$

Etapa 1.2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + 0)))$

Etapa 1.2.9

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 + 0)))$

Etapa 1.2.10

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

Etapa 1.2.11

Combine $3$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ .

$0 - (\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

Etapa 1.2.12

Combine ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ e $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Etapa 1.2.13

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ .

$0 - (\frac{3 \cdot {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Etapa 1.2.14

Cancele o fator comum de ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ e ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

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Etapa 1.2.14.1

Fatore ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ de $3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Etapa 1.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.14.2.1

Fatore ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ de ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

Etapa 1.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

Etapa 1.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$0 - (\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3))$

$0 - \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Subtraia $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ de $0$ .

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores de $- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x) - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 1.3.6

Multiplique $- 2 x + 3$ por $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$ .

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 1.3.7

Mova $3$ para a esquerda de $- 2 x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 1.3.8

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 1.3.9

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 1.3.10

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 1.3.11

Reescreva $- (2 x - 3)$ como $- 1 (2 x - 3)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 1.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - \frac{3 (2 (2) - 3)}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 (4 - 3)}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

Etapa 4.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 6 + 3}$

Etapa 4.3

Subtraia $6$ de $4$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{- 2 + 3}$

Etapa 4.4

Some $- 2$ e $3$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{1}$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (2) = - \frac{3}{1}$

Etapa 5.2

Divida $3$ por $1$ .

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (2) = - 3$