Cálculo Exemplos

$\frac{x}{x^{2} + 16}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x}{x^{2} + 16}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

$\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 16$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.6

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.7

Some $- 2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.4

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) (2 \cdot (x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 16)}^{2}$ como $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ .

$\frac{- 2 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.2

Mova $16$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $16$ por $16$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.2

Some $16 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (32 x^{2}) - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.6.1

Multiplique $32$ por $- 2$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 2$ por $256$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 512) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x^{4} x - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x \cdot x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x^{1} x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{1 + 2} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x^{1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.11

Expanda $(4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{2} x - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x \cdot x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x^{1} x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{1 + 2} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $4$ por $16$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $16$ por $- 64$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.2

Subtraia $64 x^{3}$ de $64 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 0 - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.3

Some $4 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.2

Some $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.3

Subtraia $1024 x$ de $- 512 x$ .

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.2

Fatore $2 x$ de $- 64 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.3

Fatore $2 x$ de $- 1536 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2})$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$\frac{2 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 32 u - 768$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 768$ e cuja soma é $- 32$ .

$- 48, 16$

Etapa 2.2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 16$ e ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.5.1

Fatore $x^{2} + 16$ de $2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ .

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 16$ de ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 2.2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 2.2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} - 48) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 48 = 0$

Etapa 3.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3.3

Defina $x^{2} - 48$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Defina $x^{2} - 48$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 48 = 0$

Etapa 3.3.3.2

Resolva $x^{2} - 48 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Some $48$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 48$

Etapa 3.3.3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{48}$

Etapa 3.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{48}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \pm \sqrt{16 (3)}$

Etapa 3.3.3.2.3.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Etapa 3.3.3.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 4 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} - 48) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 16}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 16}$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $0$ e $16$ .

$f (0) = \frac{0}{16}$

Etapa 4.1.2.2

Divida $0$ por $16$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $4 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $4 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{{(4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt{3}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Etapa 4.3.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Etapa 4.3.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Etapa 4.3.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $16$ por $3$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $48$ e $16$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{64}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{3}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 (\sqrt{3})}{64}$

Etapa 4.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $64$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

Etapa 4.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{16}$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $\frac{\sqrt{3}}{16}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{16}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $4 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ é $(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

Etapa 4.5

Substitua $- 4 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Etapa 4.5.2.1.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Etapa 4.5.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

Etapa 4.5.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

Etapa 4.5.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Etapa 4.5.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Etapa 4.5.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Etapa 4.5.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Etapa 4.5.2.1.4

Multiplique $16$ por $3$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

Etapa 4.5.2.1.5

Some $48$ e $16$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{64}$

Etapa 4.5.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.1

Fatore $4$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{64}$

Etapa 4.5.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.2.1

Fatore $4$ de $64$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (16)}$

Etapa 4.5.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{16}$

Etapa 4.5.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 4 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{16}$

Etapa 4.5.2.3

A resposta final é $- \frac{\sqrt{3}}{16}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{16}$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $- 4 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ é $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16}), (- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 4 \sqrt{3}) \cup (- 4 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 4 \sqrt{3}) \cup (4 \sqrt{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 7.02820323$ na expressão.

$f'' (- 7.02820323) = \frac{2 (- 7.02820323) ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 7.02820323$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 14.05640646 ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 14.05640646$ por ${(- 7.02820323)}^{2} - 48$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 7.02820323$ à potência de $2$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $49.39564064$ e $16$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $65.39564064$ à potência de $3$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{279670.33076553}$

Etapa 6.2.3

Divida $- 19.61769219$ por $279670.33076553$ .

$f'' (- 7.02820323) = - 0.00007014$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 0.00007014$ .

$- 0.00007014$

Etapa 6.3

Em $- 7.02820323$ , a segunda derivada é $- 7.01457753 E - 5$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.46410161$ na expressão.

$f'' (- 3.46410161) = \frac{2 (- 3.46410161) ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 3.46410161$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{- 6.92820323 ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 6.92820323$ por ${(- 3.46410161)}^{2} - 48$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $- 3.46410161$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $12$ e $16$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{28^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $28$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{21952}$

Etapa 7.2.3

Divida $249.41531628$ por $21952$ .

$f'' (- 3.46410161) = 0.01136184$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $0.01136184$ .

$0.01136184$

Etapa 7.3

Em $- 3.46410161$ , a segunda derivada é $0.01136184$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ .

Acréscimo em $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 4 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3.46410161$ na expressão.

$f'' (3.46410161) = \frac{2 (3.46410161) ({(3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $2$ por $3.46410161$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{6.92820323 ({3.46410161}^{2} - 48)}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $6.92820323$ por ${3.46410161}^{2} - 48$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $3.46410161$ à potência de $2$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $12$ e $16$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{28^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $28$ à potência de $3$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{21952}$

Etapa 8.2.3

Divida $- 249.41531628$ por $21952$ .

$f'' (3.46410161) = - 0.01136184$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 0.01136184$ .

$- 0.01136184$

Etapa 8.3

Em $3.46410161$ , a segunda derivada é $- 0.01136184$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 4 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(0, 4 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(4 \sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $7.02820323$ na expressão.

$f'' (7.02820323) = \frac{2 (7.02820323) ({(7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Multiplique $2$ por $7.02820323$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{14.05640646 ({7.02820323}^{2} - 48)}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $14.05640646$ por ${7.02820323}^{2} - 48$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Eleve $7.02820323$ à potência de $2$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.2

Some $49.39564064$ e $16$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $65.39564064$ à potência de $3$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{279670.33076553}$

Etapa 9.2.3

Divida $19.61769219$ por $279670.33076553$ .

$f'' (7.02820323) = 0.00007014$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $0.00007014$ .

$0.00007014$

Etapa 9.3

Em $7.02820323$ , a segunda derivada é $7.01457753 E - 5$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(4 \sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(4 \sqrt{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 10

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ .

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

Etapa 11