Cálculo Exemplos

$f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.2

Reescreva $x^{2} e^{x}$ como $\frac{x^{2}}{e^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.1.2

O limite no menos infinito de um polinômio de grau par cujo coeficiente de maior ordem é mais infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.1.3

Como o expoente $- x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{- x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Etapa 3.3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \cdot - 1} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.3.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.3.8

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.4

Avalie o limite.

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Etapa 3.4.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.4.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.1.2

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

$- 2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.1.3

Como o expoente $- x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{- x}$ se aproxima de $\infty$ .

$- 2 \frac{- \infty}{\infty} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$- 2 \frac{- \infty}{\infty} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Etapa 3.5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.5.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.3.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.3.8

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.4

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 3.5.4.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.5.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.6

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 \cdot - 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}} - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{- x}}$ se aproxima de $0$ .

$- 2 \cdot - 1 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.8

Multiplique $- 2 \cdot - 1 \cdot 0$ .

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Etapa 3.8.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}$

Etapa 3.9

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$0 - 3 lim_{x \to - \infty} e^{x}$

Etapa 3.10

Como o expoente $x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $0$ .

$0 - 3 \cdot 0$

Etapa 3.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.11.1

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 3.11.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7