Cálculo Exemplos

$f (x) = \csc (\frac{π x}{2})$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

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Etapa 1.1

Em qualquer $y = \csc (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = \csc (\frac{π x}{2})$ . Defina a parte interna da função cossecante, $b x + c$ , para $y = a \csc (b x + c) + d$ igual a $0$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = \csc (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{π x}{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$π x = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $π x = 0$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $π x = 0$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Divida $0$ por $π$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

Defina a parte interna da função cossecante $\frac{π x}{2}$ como igual a $2 π$ .

$\frac{π x}{2} = 2 π$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

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Etapa 1.4.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π)$

Etapa 1.4.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π)$

Etapa 1.4.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π)$

Etapa 1.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π)$

Etapa 1.4.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π)$

Etapa 1.4.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} (2 π)$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{π} (2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 2)$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 2)$

Etapa 1.4.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 2 \cdot 2$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = 4$

Etapa 1.5

O período básico para $y = \csc (\frac{π x}{2})$ ocorrerá em $(0, 4)$ , em que $0$ e $4$ são assíntotas verticais.

$(0, 4)$

Etapa 1.6

Encontre o período $\frac{2 π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais. Elas ocorrem a cada meio período.

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Etapa 1.6.1

$\frac{π}{2}$ é aproximadamente $1.57079632$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Etapa 1.6.3

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 1.6.3.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 1.6.3.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 1.6.3.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2$

Etapa 1.6.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 1.7

As assíntotas verticais de $y = \csc (\frac{π x}{2})$ ocorrem em $0$ , $4$ e a cada $2 n$ , em que $n$ é um número inteiro. Isso é metade do período.

$x = 2 n$

Etapa 1.8

A cossecante só tem assíntotas verticais.

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = 2 n$ , em que $n$ é um número inteiro

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = 2 n$ , em que $n$ é um número inteiro

Etapa 2

Use a forma $a \csc (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 1$

$b = \frac{π}{2}$

$c = 0$

$d = 0$

Etapa 3

Como o gráfico da função $c s c$ não tem um valor máximo nem mínimo, não pode haver valor para a amplitude.

Amplitude: nenhuma

Etapa 4

Encontre o período de $\csc (\frac{π x}{2})$ .

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Etapa 4.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Etapa 4.3

$\frac{π}{2}$ é aproximadamente $1.57079632$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 4.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 5

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 5.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{0}{\frac{π}{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $0 (\frac{2}{π})$

Etapa 5.4

Multiplique $0$ por $\frac{2}{π}$ .

Mudança de fase: $0$

Etapa 6

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: nenhuma

Período: $4$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Assíntotas verticais: $x = 2 n$ , em que $n$ é um número inteiro

Amplitude: nenhuma

Período: $4$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 8