Cálculo Exemplos

f (x) = \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$f (x) = \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão

\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que

n

$n$ é o grau do numerador e

m

$m$ é o grau do denominador.

1. Se

n < m

$n < m$ , então o eixo x,

y = 0

$y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se

n = m

$n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Se

n > m

$n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre

n

$n$ e

m

$m$ .

n = 4

$n = 4$

m = 2

$m = 2$

Etapa 5

Como

n > m

$n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore

x

$x$ de

x^{4} + 3 x^{3} - 2 x

$x^{4} + 3 x^{3} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore

x

$x$ de

x^{4}

$x^{4}$ .

\frac{x \cdot x^{3} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.1.2

Fatore

x

$x$ de

3 x^{3}

$3 x^{3}$ .

\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.1.3

Fatore

x

$x$ de

- 2 x

$- 2 x$ .

\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.1.4

Fatore

x

$x$ de

x \cdot x^{3} + x (3 x^{2})

$x \cdot x^{3} + x (3 x^{2})$ .

\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.1.5

Fatore

x

$x$ de

x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2

$x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2$ .

\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$

\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2

Expanda

x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)

$x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.3

Remova os parênteses.

\frac{x \cdot x^{3} + x \cdot (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x \cdot x^{3} + x \cdot (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.4

Reordene

x

$x$ e

3

$3$ .

\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.5

Reordene

x

$x$ e

- 2

$- 2$ .

\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.6

Multiplique

3

$3$ por

x

$x$ .

\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.7

Eleve

x

$x$ à potência de

1

$1$ .

\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.8

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

\frac{x^{1 + 3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x^{1 + 3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.9

Some

1

$1$ e

3

$3$ .

\frac{x^{4} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x^{4} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.10

Eleve

x

$x$ à potência de

1

$1$ .

\frac{x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.11

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

\frac{x^{4} + 3 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x^{4} + 3 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.12

Some

1

$1$ e

2

$2$ .

\frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

\frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de

0

$0$ .

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

x^{4}

$x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

x^{4}

$x^{4}$

0

$0$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

x^{4} + 0 + \frac{x^{2}}{2}

$x^{4} + 0 + \frac{x^{2}}{2}$ .

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

x^{4}

$x^{4}$

0

$0$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

x^{4}

$x^{4}$

0

$0$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

Etapa 6.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

x^{4}

$x^{4}$

0

$0$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x

$2 x$

Etapa 6.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

3 x^{3}

$3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

x^{4}

$x^{4}$

0

$0$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x

$2 x$

Etapa 6.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

x^{4}

$x^{4}$

0

$0$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x

$2 x$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0

$0$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

Etapa 6.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

3 x^{3} + 0 + \frac{3 x}{2}

$3 x^{3} + 0 + \frac{3 x}{2}$ .

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

x^{4}

$x^{4}$

0

$0$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x

$2 x$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0

$0$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

Etapa 6.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

x^{4}

$x^{4}$

0

$0$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x

$2 x$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0

$0$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

\frac{7 x}{2}

$\frac{7 x}{2}$

Etapa 6.13

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

x^{4}

$x^{4}$

0

$0$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x

$2 x$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0

$0$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

\frac{7 x}{2}

$\frac{7 x}{2}$

0

$0$

Etapa 6.14

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

- \frac{x^{2}}{2}

$- \frac{x^{2}}{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

2 x^{2}

$2 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{4}

$x^{4}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

2 x

$2 x$

0

$0$

x^{4}

$x^{4}$

0

$0$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

2 x

$2 x$

3 x^{3}

$3 x^{3}$

0

$0$

\frac{3 x}{2}

$\frac{3 x}{2}$

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$

\frac{7 x}{2}

$\frac{7 x}{2}$

0

$0$

Etapa 6.15

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$\frac{x^{2}}{2}$ $\frac{x^{2}}{2}$	+	$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$\frac{x^{2}}{2}$
							+	$3 x^{3}$	-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$2 x$
							-	$3 x^{3}$	-	$0$	-	$\frac{3 x}{2}$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{7 x}{2}$	+	$0$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	+	$0$	-	$\frac{1}{4}$

Etapa 6.16

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$- \frac{x^{2}}{2} + 0 - \frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

Etapa 6.17

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

$\frac{7 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

Etapa 6.18

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{- \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4}}{2 x^{2} + 1}$

Etapa 6.19

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas:

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

Etapa 8