Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 + x}{1 - x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $1 - x$ por $1$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.10.2

Multiplique $1 + x$ por $1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.12

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.1

Multiplique $1 + x$ por $1$ .

$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.12.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.12.3

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.12.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.4.1

Some $0$ e $2$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.12.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ como ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = - x + 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x + 1$ .

$2 (- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 ({(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Some $- 1$ e $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$4 {(- x + 1)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine $4$ e $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

Etapa 3.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ como ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = - x + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$4 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x + 1$ .

$4 (- 3 {(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$- 12 ({(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + 0)$

Etapa 3.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.7.1

Some $- 1$ e $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} \cdot - 1$

Etapa 3.3.7.2

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$12 {(- x + 1)}^{- 4}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

Combine $12$ e $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$

Etapa 4.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ como ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}]$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{4 \cdot - 1}]$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 4}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = - x + 1$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x + 1$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$12 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x + 1$ .

$12 (- 4 {(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 4.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$- 48 ({(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + 0)$

Etapa 4.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Some $- 1$ e $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} \cdot - 1$

Etapa 4.3.7.2

Multiplique $- 1$ por $- 48$ .

$48 {(- x + 1)}^{- 5}$

Etapa 4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 \frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$

Etapa 4.4.2

Combine $48$ e $\frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{48}{{(- x + 1)}^{5}}$