Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} e^{2 x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $x^{2} e^{2 x}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{2 x}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Reescreva $x^{2} e^{2 x}$ como $\frac{x^{2}}{e^{- 2 x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 3.2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Etapa 3.2.1.2

O limite no menos infinito de um polinômio de grau par cujo coeficiente de maior ordem é mais infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Etapa 3.2.1.3

Como o expoente $- 2 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{- 2 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Etapa 3.2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Etapa 3.2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 3.2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 3.2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 3.2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 3.2.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)}$

Etapa 3.2.3.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

Etapa 3.2.3.7

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 2 e^{- 2 x}}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $- 2$ .

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Etapa 3.2.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 (x)}{- 2 e^{- 2 x}}$

Etapa 3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $- 2 e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 (x)}{2 (- e^{- 2 x})}$

Etapa 3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 (- e^{- 2 x})}$

Etapa 3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{- 2 x}}$

Etapa 3.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x}{e^{- 2 x}}$

Etapa 3.3

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- 2 x}}$

Etapa 3.4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Etapa 3.4.1.2

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

$- \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Etapa 3.4.1.3

Como o expoente $- 2 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{- 2 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.4.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Etapa 3.4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Etapa 3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Etapa 3.4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 3.4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 3.4.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 3.4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 3.4.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

Etapa 3.4.3.7

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 2 e^{- 2 x}}$

Etapa 3.5

Mova o termo $\frac{1}{- 2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{1}{- 2} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Etapa 3.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{- 2} \cdot 0$

Etapa 3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 3.7.2

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \cdot 0$

Etapa 3.7.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 3.7.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7