Cálculo Exemplos

$y = \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

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Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $\frac{\ln (x)}{x}$ é indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 1.2

$\frac{\ln (x)}{x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{\ln (x)}{x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 1.3

Ignorando o algoritmo, considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 1.4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Etapa 1.5

Como $n < m$ , o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

$y = 0$

Etapa 1.6

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{\ln (1)}{1}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Divida $\ln (1)$ por $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Etapa 2.2.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = 0$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.3

Converta $0$ em decimal.

$y = 0$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{\ln (2)}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\frac{\ln (2)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (2)$ .

$f (2) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (2)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$f (2) = \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (2^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.3

Converta $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ em decimal.

$y = 0.34657359$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{\ln (3)}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\frac{\ln (3)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (3)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (3)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$f (3) = \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\ln (3^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (3^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.3

Converta $\ln (3^{\frac{1}{3}})$ em decimal.

$y = 0.36620409$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 0$ e os pontos $(1, 0), (2, 0.34657359), (3, 0.36620409)$ .

Assíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.347 \\ 3 & 0.366 \end{array}$

Etapa 6