Cálculo Exemplos

$y = \frac{9}{x \ln (x)}$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

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Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $\frac{9}{x \ln (x)}$ é indefinida.

$x \leq 0, x = 1$

Etapa 1.2

$\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 1.3

$\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $1$ a partir da esquerda e $\frac{9}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 1$

Etapa 1.4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = 0, 1$

Etapa 1.5

Ignorando o algoritmo, considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 1.6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Etapa 1.7

Como $n < m$ , o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

$y = 0$

Etapa 1.8

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0, 1$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Assíntotas verticais: $x = 0, 1$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 2$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{9}{(2) \ln (2)}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $2 \ln (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (2) = \frac{9}{\ln (2^{2})}$

Etapa 2.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{9}{\ln (4)}$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $\frac{9}{\ln (4)}$ .

$\frac{9}{\ln (4)}$

Etapa 2.3

Converta $\frac{9}{\ln (4)}$ em decimal.

$y = 6.49212768$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{9}{(3) \ln (3)}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 \ln (3)}$

Etapa 3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1.2.1

Fatore $3$ de $3 \ln (3)$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 (\ln (3))}$

Etapa 3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 \ln (3)}$

Etapa 3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (3) = \frac{3}{\ln (3)}$

Etapa 3.2.2

A resposta final é $\frac{3}{\ln (3)}$ .

$\frac{3}{\ln (3)}$

Etapa 3.3

Converta $\frac{3}{\ln (3)}$ em decimal.

$y = 2.73071767$

Etapa 4

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 0, 1$ e os pontos $(2, 6.49212768), (3, 2.73071767)$ .

Assíntota vertical: $x = 0, 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 6.492 \\ 3 & 2.731 \end{array}$

Etapa 5