Cálculo Exemplos

$y = \ln (\sqrt{x})$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = \ln (\sqrt{x})$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 1.1

Defina o argumento em $\ln (\sqrt{x})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt{x} > 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x}}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Simplifique.

$x > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x > 0$

Etapa 1.2.3

Encontre o domínio de $\sqrt{x}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 1.2.3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 1.2.4

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > 0$

Etapa 1.3

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 1.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 2

Para encontrar o ponto final da expressão com radicais, substitua o valor $x$ $0$ , que é o menor valor no domínio, em $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

Etapa 2.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Etapa 2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = \ln (0)$

Etapa 2.5

O logaritmo natural de zero é indefinido.

$f (0) = Undefined$

Indefinido

Etapa 3

O ponto final da expressão com radicais é $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ a partir do domínio. É mais útil selecionar os valores de forma que fiquem próximos do valor $x$ do ponto final da expressão com radicais.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 0)$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

Etapa 4.1.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Etapa 4.1.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = 0$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ . Nesse caso, o ponto é $(2, \ln (\sqrt{2}))$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.2.1

Remova os parênteses.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

Etapa 4.2.2.2

A resposta final é $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Etapa 4.3

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.35 \end{array}$

Etapa 5