Cálculo Exemplos

$\sqrt[4]{t} - 4 e^{t}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt[4]{t} - 4 e^{t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\sqrt[4]{t}] + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[4]{t}] + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [\sqrt[4]{t}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{t}$ como $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4 e^{t}$ em relação a $t$ é $- 4 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}} - 4 \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}} - 4 e^{t}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{t^{\frac{3}{4}}} - 4 e^{t}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{t^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} - 4 e^{t}$