Cálculo Exemplos

$\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 x - 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x - 1 \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$2 x \geq 1$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $2 x \geq 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $2 x \geq 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Etapa 1.3

Defina o denominador em $\frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x - 1 = 0$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

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Etapa 1.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 1.4.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.4.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > \frac{1}{2}}$

Notação de intervalo:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > \frac{1}{2}}$

Etapa 2

Para encontrar o ponto final da expressão com radicais, substitua o valor $x$ $\frac{1}{2}$ , que é o menor valor no domínio, em $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{1 - 1}$

Etapa 2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{0}$

Etapa 2.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

$f (\frac{1}{2}) = Undefined$

Indefinido

Etapa 3

O ponto final da expressão com radicais é $(\frac{1}{2}, Undefined)$ .

$(\frac{1}{2}, Undefined)$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ a partir do domínio. É mais útil selecionar os valores de forma que fiquem próximos do valor $x$ do ponto final da expressão com radicais.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 1)$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{(1) \sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $\sqrt{2 (1) - 1}$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 - 1}$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{1}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 - 1}}{1}$

Etapa 4.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{1}$

Etapa 4.1.2.3.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.4

Divida $1$ por $1$ .

$f (1) = 1$

Etapa 4.1.2.5

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{(2) \sqrt{2 (2) - 1}}{2 (2) - 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{4 - 1}}{2 (2) - 1}$

Etapa 4.2.2.1.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 (2) - 1}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.2.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{4 - 1}$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.2.2.3

A resposta final é $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $3$ em $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . Nesse caso, o ponto é $(3, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{(3) \sqrt{2 (3) - 1}}{2 (3) - 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{6 - 1}}{2 (3) - 1}$

Etapa 4.3.2.1.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{2 (3) - 1}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{6 - 1}$

Etapa 4.3.2.2.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 4.4

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(0.5, Undefined), (1, 1), (2, 1.15), (3, 1.34)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0.5 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.15 \\ 3 & 1.34 \end{array}$

Etapa 5