Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

Etapa 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} + x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} + x \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Etapa 1.2.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 1.2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 1.2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{2} - 4 \geq 0$

Etapa 1.2.8.1.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 1.2.8.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 \geq 0$

Etapa 1.2.8.2.3

O lado esquerdo $- 0.25$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 1.2.8.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{2} + 2 \geq 0$

Etapa 1.2.8.3.3

O lado esquerdo $6$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 1.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 0$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Etapa 2

Como o domínio não consiste em números reais apenas, $\sqrt{x^{2} + x}$ não é contínuo em relação a todos os números reais.

Não contínuo

Etapa 3