Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 2}}$

Etapa 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x}{x - 2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.3

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 2$

Etapa 1.2.4

Consolide as soluções.

$x = 0, 2$

Etapa 1.2.5

Encontre o domínio de $\frac{x}{x - 2}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.5.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 1.2.6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 1.2.7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.2.7.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 1.2.7.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{- 2}{(- 2) - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.7.1.3

O lado esquerdo $0.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.7.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.7.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 1.2.7.2.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{1}{(1) - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.7.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.7.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.2.7.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{4}{(4) - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.7.3.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 1.2.8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq 0$ ou $x > 2$

Etapa 1.3

Defina o denominador em $\frac{x}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 1.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0] \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq 0, x > 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0] \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq 0, x > 2}$

Etapa 2

Como o domínio não consiste em números reais apenas, $\sqrt{\frac{x}{x - 2}}$ não é contínuo em relação a todos os números reais.

Não contínuo

Etapa 3