Cálculo Exemplos

$y = t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{7}$ e $g (t) = {(t^{5} - 6)}^{3}$ .

$t^{7} \frac{d}{d t} [{(t^{5} - 6)}^{3}] + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{5} - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{5} - 6$ .

$t^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$t^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{5} - 6$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{5} - 6$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6]$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.3.3

Como $- 6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 6$ em relação a $t$ é $0$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + 0)) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Some $5 t^{4}$ e $0$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4})) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2} t^{4}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.4

Multiplique $t^{7}$ por $t^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova $t^{4}$ .

$t^{4} t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t^{4 + 7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.4.3

Some $4$ e $7$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} (7 t^{6})$

Etapa 3.6

Mova $7$ para a esquerda de ${(t^{5} - 6)}^{3}$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 \cdot {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

Etapa 3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Fatore $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ de $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Fatore $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ de $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2})$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

Etapa 3.7.1.2

Fatore $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ de $7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.1.3

Fatore $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ de $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15) + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.2

Mova $15$ para a esquerda de $t^{5}$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.3

Reescreva ${(t^{5} - 6)}^{2}$ como $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ .

$t^{6} ((t^{5} - 6) (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.4

Expanda $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{6} (t^{5} (t^{5} - 6) - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.1.1

Multiplique $t^{5}$ por $t^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t^{6} (t^{5 + 5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.5.1.1.2

Some $5$ e $5$ .

$t^{6} (t^{10} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.5.1.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $t^{5}$ .

$t^{6} (t^{10} - 6 \cdot t^{5} - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.5.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$t^{6} (t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.5.2

Subtraia $6 t^{5}$ de $- 6 t^{5}$ .

$t^{6} (t^{10} - 12 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(t^{6} t^{10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.7.1

Multiplique $t^{6}$ por $t^{10}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.7.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(t^{6 + 10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.7.1.2

Some $6$ e $10$ .

$(t^{16} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.7.3

Mova $36$ para a esquerda de $t^{6}$ .

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.8

Multiplique $t^{6}$ por $t^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.8.1

Mova $t^{5}$ .

$(t^{16} - 12 (t^{5} t^{6}) + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(t^{16} - 12 t^{5 + 6} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.8.3

Some $5$ e $6$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Etapa 3.7.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} + 7 \cdot - 6)$

Etapa 3.7.9.2

Multiplique $7$ por $- 6$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} - 42)$

Etapa 3.7.10

Some $15 t^{5}$ e $7 t^{5}$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$

Etapa 3.7.11

Expanda $(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$t^{16} (22 t^{5}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$22 t^{16} t^{5} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.2

Multiplique $t^{16}$ por $t^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.12.2.1

Mova $t^{5}$ .

$22 (t^{5} t^{16}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$22 t^{5 + 16} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.2.3

Some $5$ e $16$ .

$22 t^{21} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.3

Mova $- 42$ para a esquerda de $t^{16}$ .

$22 t^{21} - 42 \cdot t^{16} - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{11} t^{5} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.5

Multiplique $t^{11}$ por $t^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.12.5.1

Mova $t^{5}$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 (t^{5} t^{11}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{5 + 11} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.5.3

Some $5$ e $11$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.6

Multiplique $- 12$ por $22$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.7

Multiplique $- 42$ por $- 12$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{6} t^{5} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.9

Multiplique $t^{6}$ por $t^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.12.9.1

Mova $t^{5}$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 (t^{5} t^{6}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{5 + 6} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.9.3

Some $5$ e $6$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.10

Multiplique $36$ por $22$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Etapa 3.7.12.11

Multiplique $- 42$ por $36$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

Etapa 3.7.13

Subtraia $264 t^{16}$ de $- 42 t^{16}$ .

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

Etapa 3.7.14

Some $504 t^{11}$ e $792 t^{11}$ .

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$