Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{2 x}}{x^{10}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = x^{10}$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{{(x^{10})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{10})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{10 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $10$ por $2$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{x^{10} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x^{10} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Etapa 4.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{10} (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

$\frac{x^{10} (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (10 x^{9})}{x^{20}}$

Etapa 4.5

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$\frac{x^{10} (2 e^{2 x}) - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{10} e^{2 x} - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Etapa 5.1.2

Reordene os fatores em $2 x^{10} e^{2 x} - 10 e^{2 x} x^{9}$ .

$\frac{2 x^{10} e^{2 x} - 10 x^{9} e^{2 x}}{x^{20}}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{2 x} x^{10} - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Etapa 5.3

Fatore $2 e^{2 x} x^{9}$ de $2 e^{2 x} x^{10} - 10 e^{2 x} x^{9}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2 e^{2 x} x^{9}$ de $2 e^{2 x} x^{10}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x) - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 e^{2 x} x^{9}$ de $- 10 e^{2 x} x^{9}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x) + 2 e^{2 x} x^{9} (- 5)}{x^{20}}$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 e^{2 x} x^{9}$ de $2 e^{2 x} x^{9} (x) + 2 e^{2 x} x^{9} (- 5)$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x - 5)}{x^{20}}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $x^{9}$ e $x^{20}$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $x^{9}$ de $2 e^{2 x} x^{9} (x - 5)$ .

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{20}}$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.1

Fatore $x^{9}$ de $x^{20}$ .

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{9} x^{11}}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{9} x^{11}}$

Etapa 5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 e^{2 x} (x - 5)}{x^{11}}$