Cálculo Exemplos

$y = \frac{5 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 11$ e $g (x) = 2 x + 4$ .

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 9 x + 11] - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 9 x + 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + 0) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Some $10 x - 9$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.13

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.14

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.15

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.15.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.15.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2} - 9 x + 11)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Expanda $(2 x + 4) (10 x - 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (10 x - 9) + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot 10 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{20 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.5

Multiplique $10$ por $4$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.6

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Some $- 18 x$ e $40 x$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $11$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $10 x^{2}$ de $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 22 x - 36 + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.3

Some $22 x$ e $18 x$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 36 - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.4

Subtraia $22$ de $- 36$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Fatore $2$ de $10 x^{2} + 40 x - 58$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $2$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 40 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $2$ de $40 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Fatore $2$ de $- 58$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.4

Fatore $2$ de $2 (5 x^{2}) + 2 (20 x)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.5

Fatore $2$ de $2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 29)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.4.1

Fatore $2$ de $2 x + 4$ .

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Etapa 3.3.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Aplique a regra do produto a $2 (x + 2)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.5.1

Fatore $2$ de $4 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Etapa 3.3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Etapa 3.3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$