Cálculo Exemplos

$x \sin (y) + y \sin (x) = 6$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \sin (y) + y \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $\sin (y)$ por $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$

Etapa 3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y) = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$ .

$x y' \cos (y) + y \cos (x) + y' \sin (x) + \sin (y) = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $y \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) + \sin (y) = - y \cos (x)$

Etapa 5.2.2

Subtraia $\sin (y)$ dos dois lados da equação.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $x y' \cos (y) + y' \sin (x)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $x y' \cos (y)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $y' \sin (x)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x))$ .

$y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ por $x \cos (y) + \sin (x)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ por $x \cos (y) + \sin (x)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x \cos (y) + \sin (x)$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2.2

Fatore $- 1$ de $- y \cos (x)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- \sin (y)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (y \cos (x)) - (\sin (y))$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.3.2.5.1

Reescreva $- (y \cos (x) + \sin (y))$ como $- 1 (y \cos (x) + \sin (y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 5.4.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$