Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 2} \frac{3 t^{2} - 7 t + 2}{2 - t}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 2} 3 t^{2} - 7 t + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{t \to 2} 3 t^{2} - lim_{t \to 2} 7 t + lim_{t \to 2} 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{3 lim_{t \to 2} t^{2} - lim_{t \to 2} 7 t + lim_{t \to 2} 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $t^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{t \to 2} t)}^{2} - lim_{t \to 2} 7 t + lim_{t \to 2} 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 2} t)}^{2} - 7 lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $2$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 2} t)}^{2} - 7 lim_{t \to 2} t + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $2$ por $t$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 7 lim_{t \to 2} t + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $2$ por $t$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12 - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$\frac{12 - 14 + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $14$ de $12$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.2.7.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 2} 2 - t}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 2} 2 - lim_{t \to 2} t}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{2 - lim_{t \to 2} t}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $2$ por $t$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 2} \frac{3 t^{2} - 7 t + 2}{2 - t} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 7 t + 2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 7 t + 2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} - 7 t + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d t} [- 7 t]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7 t$ em relação a $t$ é $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7 + \frac{d}{d t} [2]}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3.5

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7 + 0}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3.6

Some $6 t - 7$ e $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{\frac{d}{d t} [2 - t]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- t]}$

Etapa 1.3.8

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{0 + \frac{d}{d t} [- t]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{0 - \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{0 - 1}$

Etapa 1.3.10

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{6 t - 7}{- 1}$

Etapa 1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{6 t - 7}{- 1}$ .

$lim_{t \to 2} - 1 \cdot (6 t - 7)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to 2} 6 t - 7$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $2$ .

$- (lim_{t \to 2} 6 t - lim_{t \to 2} 7)$

Etapa 2.3

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- (6 lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 7)$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $2$ .

$- (6 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 7)$

Etapa 3

Avalie o limite de $t$ substituindo $2$ por $t$ .

$- (6 \cdot 2 - 1 \cdot 7)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$- (12 - 1 \cdot 7)$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$- (12 - 7)$

Etapa 4.2

Subtraia $7$ de $12$ .

$- 1 \cdot 5$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5$