Cálculo Exemplos

$2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.3.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.3.9

Combine $3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 1.1.3.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.3.12

Fatore $3$ de $6$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.3.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 1.1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ por $x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

Divida $2$ por $- 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Etapa 2.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o expoente.

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Etapa 2.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 2.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = {(- 1)}^{3}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x = - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 2 + 3$

Etapa 4.1.2.2

Some $- 2$ e $3$ .

$1$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$2 (0) + 3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + 3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$0 + 3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$0 + 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$0 + 3 \cdot 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 3 \cdot 0$

Etapa 4.2.2.1.6

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, 1), (0, 0)$

Etapa 5