Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $4 x^{3} - 12 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $4 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x^{2} (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 7$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{3} + 7$

Etapa 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 7$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$0 + 0 + 7$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 7$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $7$ .

$7$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 7$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$81 - 4 {(3)}^{3} + 7$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$81 - 4 \cdot 27 + 7$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $27$ .

$81 - 108 + 7$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $108$ de $81$ .

$- 27 + 7$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 27$ e $7$ .

$- 20$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 7), (3, - 20)$

Etapa 5