Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{4 - 3})}{h}$

Etapa 1

Subtraia $3$ de $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite de $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - (3 + 0)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.2.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - 1 \cdot 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{5 - \sqrt{1} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.2.6.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - 1)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.7

Subtraia $1$ de $5$ .

$\frac{5 - 1 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{5 - 1 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3

Subtraia $1$ de $5$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1 \cdot 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3

Subtraia $1$ de $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5

Como $5$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $5$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6

Avalie $\frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}]$ .

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Etapa 2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - (3 + h)}$ como ${(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.2

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $h$ é $- \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = 4 - (3 + h)$ .

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Etapa 2.3.6.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - (3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - (3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - (3 + h)$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.5

Como $4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $4$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.6

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- (3 + h)$ em relação a $h$ é $- \frac{d}{d h} [3 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [3 + h])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.8

Como $3$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $3$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.6.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.15

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.16

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.17

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.18

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.19

Combine $\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.20

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.21

Reescreva $- 1 {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.22

Mova ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.24

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.25

Multiplique $\frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7

Avalie $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ .

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Etapa 2.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7.2

Como $- 4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 4$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 1 \cdot 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.8.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.3

Some $0$ e $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.4

Some $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 2.5

Reescreva ${(1 - h)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 - h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}} \cdot 1$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - h}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

Etapa 3.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - h}}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} h}}$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} h}}$

Etapa 3.7

Simplifique os termos.

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Etapa 3.7.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 3.7.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.7.2.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 3.7.2.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 3.7.2.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 3.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 3.7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 3.7.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$