Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} 2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{\tan (2 lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\tan (2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $\tan (2 x)$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Combine os termos opostos em $\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{\tan (2 x) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $\tan (2 x)$ de $\tan (2 x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = \tan (h)$ e $g (h) = 2 (x + h)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 (x + h)$ em relação a $h$ é $2 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.6

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \cdot 2 + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 (x + h))$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Como $- \tan (2 x)$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- \tan (2 x)$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.2

Some $2 \sec^{2} (2 x + 2 h)$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3

Reescreva $\sec (2 x + 2 h)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{h \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.6

Combine $2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)} \cdot 1$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (2 x + 2 h)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 \frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (2 x + 2 h))}^{2}}$

Etapa 2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + 2 h)}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

Etapa 2.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$ como ${(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$ .

$2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$

Etapa 4.3

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)}$ em $\sec (2 x + 2 \cdot 0)$ .

$2 \sec^{2} (2 x + 2 \cdot 0)$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 \sec^{2} (2 x + 0)$

Etapa 4.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$