Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} {(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$ como $e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})$ movendo $\csc (x)$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{\csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a cossecante é contínua.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.4

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + \sin (x))}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Etapa 2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Avalie $\csc (8)$ .

$e^{7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Etapa 4.2

Simplifique $7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))$ movendo $7.18529653$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(1 + \sin (8))}^{7.18529653})}$

Etapa 4.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(1 + \sin (8))}^{7.18529653}$

Etapa 4.4

Avalie $\sin (8)$ .

${(1 + 0.1391731)}^{7.18529653}$

Etapa 4.5

Some $1$ e $0.1391731$ .

${1.1391731}^{7.18529653}$

Etapa 4.6

Eleve $1.1391731$ à potência de $7.18529653$ .

$2.55043306$