Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${\tan (x)}^{\tan (x)}$ como $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})$ movendo $\tan (x)$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (x) \ln (\tan (x))}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) \ln (\tan (x))}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \ln (\tan (x))}$

Etapa 2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \ln (\tan (x))}$

Etapa 2.4

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x))}$

Etapa 2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \ln (\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x))}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$e^{\tan (\frac{π}{4}) \cdot \ln (\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x))}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$e^{\tan (\frac{π}{4}) \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$e^{1 \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Etapa 4.2

Simplifique $1 \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))$ movendo $1$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln (\tan^{1} (\frac{π}{4}))}$

Etapa 4.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\tan^{1} (\frac{π}{4})$

Etapa 4.4

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$1^{1}$

Etapa 4.5

Avalie o expoente.

$1$