Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${\tan (x)}^{\cos (x)}$ como $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ movendo $\cos (x)$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Etapa 2

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Etapa 3

Avalie o valor crítico esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \ln (\tan (x))}$

Etapa 3.2

Reescreva $\cos (x) \ln (\tan (x))$ como $\frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}}$

Etapa 3.3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \ln (\tan (x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Etapa 3.3.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Etapa 3.3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sec (x)}}$

Etapa 3.3.1.3.2

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $\frac{π}{2}$ a partir da esquerda, os valores da função aumentam sem limites.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.3.1.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}$

Etapa 3.3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.5

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.6.1

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.6.2

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.7

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.8

Combine $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \sec^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.9.1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.9.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.9.1.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.9.1.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.9.1.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.9.1.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.9.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.9.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.9.2.1

Reescreva $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ como um produto.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.9.2.2

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Etapa 3.3.3.10

Reescreva $\frac{1}{\cos (x)}$ como $\cos^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)]}}$

Etapa 3.3.3.11

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.11.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Etapa 3.3.3.11.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Etapa 3.3.3.11.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Etapa 3.3.3.12

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}$

Etapa 3.3.3.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.3.3.14

Multiplique $\cos^{- 2} (x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.3.3.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.15.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)}}$

Etapa 3.3.3.15.2

Combine $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Etapa 3.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 3.3.5

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.3.5.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.3.5.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}}$

Etapa 3.3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Etapa 3.3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Etapa 3.3.6

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Etapa 3.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.2.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (\sin^{2} (x))}}$

Etapa 3.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Etapa 3.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 3.3.7

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.3.8

Separe as frações.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 3.3.9

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)}$

Etapa 3.3.10

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cot (x)}$

Etapa 3.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Etapa 3.4.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a cossecante é contínua.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Etapa 3.4.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Etapa 3.5

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Etapa 3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Etapa 3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$e^{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $\cot (\frac{π}{2})$ por $1$ .

$e^{\cot (\frac{π}{2})}$

Etapa 3.6.3

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$e^{0}$

Etapa 3.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$

Etapa 4

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite de $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\tan (\frac{π}{2}))}$

Etapa 5.2

Reescreva $\tan (\frac{π}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{2})})}$

Etapa 5.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$

Etapa 5.4

Como $e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 6

Se um dos valores críticos unilaterais não existir, o limite não existirá.

$Não existe$