Cálculo Exemplos

$3^{2 x} - 108 \cdot 3^{x} + 2187 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $3^{2 x}$ como ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} - 108 \cdot 3^{x} + 2187 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = 3^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $3^{x}$ .

$u^{2} - 108 u + 2187 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} - 108 u + 2187$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2187$ e cuja soma é $- 108$ .

$- 81, - 27$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 81) (u - 27) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3^{x}$ .

$(3^{x} - 81) (3^{x} - 27) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3^{x} - 81 = 0$

$3^{x} - 27 = 0$

Etapa 3

Defina $3^{x} - 81$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $3^{x} - 81$ como igual a $0$ .

$3^{x} - 81 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $3^{x} - 81 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $81$ aos dois lados da equação.

$3^{x} = 81$

Etapa 3.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{4}$

Etapa 3.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 4$

Etapa 4

Defina $3^{x} - 27$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $3^{x} - 27$ como igual a $0$ .

$3^{x} - 27 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3^{x} - 27 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $27$ aos dois lados da equação.

$3^{x} = 27$

Etapa 4.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{3}$

Etapa 4.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 3$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(3^{x} - 81) (3^{x} - 27) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 3$