Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} - e^{2 x}}{e^{x} - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{4 x} - e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{4 lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{4 lim_{x \to 0} x} - e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{4 \cdot 0} - e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{4 \cdot 0} - e^{2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - e^{2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - e^{2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} - e^{2 x}}{e^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{4 x} - e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.5

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{2 x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (e^{2 x} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (2 \cdot e^{2 x})}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{e^{x} + 0}$

Etapa 1.3.8

Some $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{e^{x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Etapa 2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para o expoente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Etapa 2.5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Etapa 2.7

Mova o limite para o expoente.

$\frac{4 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Etapa 2.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Etapa 2.9

Mova o limite para o expoente.

$\frac{4 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 e^{4 \cdot 0} - 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 e^{4 \cdot 0} - 2 e^{2 \cdot 0}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 e^{4 \cdot 0} - 2 e^{2 \cdot 0}}{e^{0}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{4 e^{0} - 2 e^{2 \cdot 0}}{e^{0}}$

Etapa 4.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 - 2 e^{2 \cdot 0}}{e^{0}}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 - 2 e^{2 \cdot 0}}{e^{0}}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{4 - 2 e^{0}}{e^{0}}$

Etapa 4.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 1}{e^{0}}$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{4 - 2}{e^{0}}$

Etapa 4.1.7

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{2}{e^{0}}$

Etapa 4.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{2}{1}$

Etapa 4.3

Divida $2$ por $1$ .

$2$