Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{e^{6 t} + e^{- 6 t}}{e^{4 t}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = e^{6 t} + e^{- 6 t}$ e $g (t) = e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} \frac{d}{d t} [e^{6 t} + e^{- 6 t}] - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{{(e^{4 t})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{4 t})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{4 t} \frac{d}{d t} [e^{6 t} + e^{- 6 t}] - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{4 t \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{e^{4 t} \frac{d}{d t} [e^{6 t} + e^{- 6 t}] - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{6 t} + e^{- 6 t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [e^{6 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]$ .

$\frac{e^{4 t} (\frac{d}{d t} [e^{6 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 6 t$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6 t$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} (6 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} \cdot 6 + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 4.3.2

Mova $6$ para a esquerda de $e^{6 t}$ .

$\frac{e^{4 t} (6 \cdot e^{6 t} + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 6 t$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 6 t]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 6 t]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} \frac{d}{d t} [- 6 t]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $- 6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 6 t$ em relação a $t$ é $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} (- 6 \frac{d}{d t} [t])) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} (- 6 \cdot 1)) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} \cdot - 6) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 6.3.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $e^{- 6 t}$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 \cdot e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 4 t$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $4 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [4 t])}{e^{8 t}}$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [4 t])}{e^{8 t}}$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $4 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])}{e^{8 t}}$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]))}{e^{8 t}}$

Etapa 8.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} (\frac{d}{d t} [t]))}{e^{8 t}}$

Etapa 8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} \cdot 1)}{e^{8 t}}$

Etapa 8.4

Multiplique $e^{4 t}$ por $1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) + (- 4 e^{6 t} - 4 e^{- 6 t}) e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 e^{4 t} e^{6 t} + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.2

Multiplique $e^{4 t}$ por $e^{6 t}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.4.1.2.1

Mova $e^{6 t}$ .

$\frac{6 (e^{6 t} e^{4 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 e^{6 t + 4 t} + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.2.3

Some $6 t$ e $4 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{4 t} e^{- 6 t} - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.4

Multiplique $e^{4 t}$ por $e^{- 6 t}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.4.1.4.1

Mova $e^{- 6 t}$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 (e^{- 6 t} e^{4 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 6 t + 4 t} - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.4.3

Some $- 6 t$ e $4 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.5

Multiplique $e^{6 t}$ por $e^{4 t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.5.1

Mova $e^{4 t}$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 (e^{4 t} e^{6 t}) - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{4 t + 6 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.5.3

Some $4 t$ e $6 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.6

Multiplique $e^{- 6 t}$ por $e^{4 t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.6.1

Mova $e^{4 t}$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 (e^{4 t} e^{- 6 t})}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 e^{4 t - 6 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.1.6.3

Subtraia $6 t$ de $4 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.2

Subtraia $4 e^{10 t}$ de $6 e^{10 t}$ .

$\frac{2 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.4.3

Subtraia $4 e^{- 2 t}$ de $- 6 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 e^{10 t} - 10 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.5

Fatore $2$ de $2 e^{10 t} - 10 e^{- 2 t}$ .

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Etapa 9.5.1

Fatore $2$ de $2 e^{10 t}$ .

$\frac{2 (e^{10 t}) - 10 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Etapa 9.5.2

Fatore $2$ de $- 10 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 (e^{10 t}) + 2 (- 5 e^{- 2 t})}{e^{8 t}}$

Etapa 9.5.3

Fatore $2$ de $2 (e^{10 t}) + 2 (- 5 e^{- 2 t})$ .

$\frac{2 (e^{10 t} - 5 e^{- 2 t})}{e^{8 t}}$